北理工周迪/姚裕贵团队：广义强非线性拓扑不变量和反常边缘态的解析理论
近日，北京理工大学姚裕贵教授、周迪研究员团队，在Nature Communications发表题为 “Topological invariant and anomalous edge modes of strongly nonlinear systems” 的文章。团队通过数学推导，研究了广义强非线性系统，在非线性波中提出贝里相位的合理定义，并严格证明其量子化条件。
作者通过理论计算和数值模拟，验证了非线性拓扑模的稳定性，将 “体边对应关系”推广到广义强非线性系统中。北京理工大学周迪研究员为论文的第一作者，周迪研究员和姚裕贵教授为论文的共同通讯作者，合作者包括佐治亚理工大学的D. Zeb Rocklin教授和Michael J. Leamy教授。
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拓扑能带理论
拓扑能带理论的建立，促使“物质拓扑相”这一领域迅猛发展。拓扑学，描述了几何物体在连续变形下保持不变的数学性质。物理学家将拓扑概念应用到量子系统中，建立了具有拓扑性质的电子能带理论。
当拓扑数不同的材料在空间上交互时，接触面会出现无能隙的导电态。由于受到拓扑数的保护，表面的瑕疵或缺陷不会干扰或改变这些导电态所产生的电流。 这些自然界材料所不具备的超常输运性质使拓扑材料有望成为颠覆性的高性能材料。
由于量子体系的拓扑性质和实际应用尚有距离，人们将拓扑能带理论从量子体系进一步拓展到经典系统中。基于力、电、声、光等经典物理平台，人们发现了新奇物理性质，并通过拓扑稳定性质实现了经典波的操纵调控。相比量子系统而言，经典系统的物理性质更直观，拓扑物性更容易应用于实际生活中。这些基于力、电、声、光的新奇物性所构造的 “拓扑超材料”，形成了当前物理研究的新兴前沿领域。这些超材料的研究同时为拓扑物理的探究理解提供了全新平台。
非线性问题
非线性问题是物理研究的重要分支。近年来，在一系列非线性经典系统中，人们发现了诸多新奇拓扑物性，比如振幅调控的拓扑态频率、振幅导致的拓扑相变、拓扑信号的共振同步、以及非线性自诱导拓扑态等。与线性系统相比，非线性系统具有一系列独特的性质，例如分叉现象、非线性局域化激发，以及共振同步现象。
分叉现象 | Pixabay
然而，由于线性叠加原理并不适用，研究非线性问题往往是非常困难的。这些非线性经典拓扑系统包括相互作用强度由振幅唯一控制的“克尔”非线性光学和冷原子系统，以及具有弱非线性相互作用的电路、声学晶格问题。“克尔类型”的非线性波函数可以严格求解，所以拓扑能带理论能够直接刻画这些光学、冷原子的拓扑性质。在此基础上，人们进一步将弱非线性相互作用近似成“克尔非线性”，以此来描绘电路和声学体系的弱非线性拓扑性质。
自然界中的大多数非线性系统非常复杂，其中的非线性模态缺乏深入认知，从而导致它们的拓扑不变量和拓扑相无法定量刻画。“克尔非线性”和“弱非线性”的拓扑问题虽已得到解决，但它们只是自然界中两种特殊的非线性系统。日常生活中其他复杂的非线性问题包括：强非线性电路、弹性力学、流体动力学、生物进化过程，以及考虑了二次谐波的非线性光学问题。
为了理解这些具有广义强非线性相互作用的系统所具备的拓扑物性，我们需要建立一套更普适的拓扑理论。这套理论对于拓扑超材料的设计，以及非线性新奇物性的研究，具有重要的科学意义。
创新研究
本文通过研究广义非线性模型，在非线性振荡模式中提出贝里相位的概念，推导了贝里相位的数学形式。作者证明，在反射对称性约束下，贝里相位能够被量子化，进而刻画广义非线性系统的拓扑相。该工作进一步将自诱导拓扑态推广到了强非线性区域中。相关工作发表在Nature Communications 13, 3379 (2022)。
与线性拓扑模不同，这些拓扑模的振幅由边界衰减到一个零平台，并且该平台的幅值由系统非线性作用的稳定不动点所决定。如图所示，不同振幅的外界信号激励下，同样的广义非线性系统会表现出截然不同的拓扑物性。在图1所描述的非线性拓扑系统中，系统在小振幅外界信号的驱动下处于非线性拓扑相中。非线性模态出现在晶格边界。而在大振幅外界信号的驱动下，系统处于拓扑平庸相。非线性边缘态无法在晶格边界激励。
图1：小振幅拓扑、大振幅平庸的非线性系统。(a, b) 小振幅激励信号下，系统表现出拓扑边缘态响应。(c, d) 大振幅激励信号下，系统表现出体模响应 | 参考文献[1]
图2描述的非线性拓扑系统中，小振幅驱动下，晶格处于拓扑平庸相，而在大振幅的外界激励下，体系处于非线性拓扑相中，晶格边界出现非线性拓扑激发态。
图2：小振幅平庸、大振幅拓扑的非线性系统。(a, b) 小振幅激励信号下，系统表现出体模响应。(c, d) 大振幅激励信号下，系统表现出拓扑边缘态响应 | 参考文献[1]
通过这一工作，作者证明了 “拓扑保护”的概念普遍存在于非线性系统中，而不局限于克尔非线性与弱非线性系统。本文为拓扑超材料的设计和非线性拓扑物性的研究提供了理论基础。
该工作得到国家自然科学基金委（11734003,和12061131002）科技部国家重点研发计划（2020YFA0308800）、中国科学院战略性先导科技专项资助（XDB30000000）等项目的支持。
参考文献
[1]Zhou, D., Rocklin, D.Z., Leamy, M. et al. Topological invariant and anomalous edge modes of strongly nonlinear systems. Nat Commun 13, 3379 (2022). https://doi.org/10.1038/s41467-022-31084-y
作者：周迪
编辑：靳小明
排版：尹宁流
题图来源：Pixabay
研究团队
通讯作者/第一作者 周迪：研究员，北京理工大学物理学院先进光电量子结构设计与测量教育部重点实验室
通讯作者 姚裕贵：教授，北京理工大学物理学院先进光电量子结构设计与测量教育部重点实验室
论文信息
发布期刊Nature Communications
发布时间 2022年6月13日
论文标题 Topological invariant and anomalous edge modes of strongly nonlinear systems
(DOI：https://doi.org/10.1038/s41467-022-31084-y）
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